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戦略的常識


「領域の端点は偶数個」


まず、とんでもなく簡単な例で説明をしよう。

───────────────
 ・━・━・━・ ・ ・ ・ 
   ×1×  A  ×   
 ・×・×・×・ ・×・×・ 
   ×0×2┃ ┃1×   
 ・ ・×・━・×・×・ ・ 
     ┃ ×2┃     
 ・ ・ ・×・━・×・ ・ 
       ┃2      
まず、最初は、左図のように、領域Aの周囲がなっているとしよう。 図の上の線は、問題の端であることを示す。

───────────────
 ・━・━・━★ ・ ・ ・ 
   ×1×  A  ×   
 ・×・×・×★ ★×・×・ 
   ×0×2┃ ┃1×   
 ・ ・×・━・×・×・ ・ 
     ┃ ×2┃     
 ・ ・ ・×・━・×・ ・ 
       ┃2      
このとき、領域Aにある端点(★)に注目する。

すると、現在、端点の数は3個である。★と★は互いにどれかと繋がる。 つまりペアとなる。したがって、現在のように3つの★だと、1組つながると、 端点である★が1つだけ余ることになる。

───────────────
 ・━・━・━★ ★←・←・ 
   ×1×  A  ×   
 ・×・×・×★ ★×・×・ 
   ×0×2┃ ┃1×   
 ・ ・×・━・×・×・ ・ 
     ┃ ×2┃     
 ・ ・ ・×・━・×・ ・ 
       ┃2      
全体で大きな、端のないループを作るのであるから、領域Aでの端点の数は 偶数でないと、ペア組ませることができない。

左の場合、←に線を引くことで、領域Aの端点数が4(偶数)になり、端点が 発生しなくなる。

───────────────
 ・━・━・━・ ・━・━・ 
   ×1×     ×   
 ・×・×・×・ ・×・×・ 
   ×0×2┃ ┃1×   
 ・ ・×・━・×・×・ ・ 
     ┃ ×2┃     
 ・ ・ ・×・━・×・ ・ 
       ┃2      
したがって、左のように領域の端点数は偶数個ということで、右上の方に線を 引かなければならない。


以上の説明は、もっとも小さな領域の場合なので簡単過ぎた。もっと実際的な 例について説明しよう。


 ・ ・ ・ ・━・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 
      1 3┃1    ┃  1    
 ・ ・━・ ・━・×・×・━・ ・ ・ ・ 
   ┃ ×1  ×1× ┃3 0      
 ・━・×・×・ ・━・×・━・ ・ ・━・ 
 ┃3×1× ×1  ┃ × ┃1× ┃3┃ 
 ・━・━・ ・×・ ・ ・ ・×・×・×・ 
   ×    1   1    ×1┃ × 
 ・━・×・ ・ ・━・ ・ ・×・×・━・ 
 ┃3┃1×    3   1  ×0×1× 
 ・ ・×・×・×・━・×・ ・━・×・×・ 
 ┃ ┃2×    3 2┃2  ┃ ×2┃ 
 ・ ・━・━・ ・━・ ・ ・ ・━・━・ 
───────────────────────
上の問題は、中央付近に、かなり広い未決定部分がある。 この広い未決定部分を考えていくと、重要な線を引くことができるのを示そう。

まず、端点について★をつけてみる。

このとき、線分全体が領域内に存在するような短い線分については、端点のマークを つけない。


 ・ ・ ・ ・━・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 
      1 3┃1    ┃  1    
 ・ ・━・ ・━・×・×・━・ ・ ・ ・ 
   ┃ ×1  ×1× ┃3 0      
 ・━・×・×☆←◎━・×・━・ ・ ・━・ 
 ┃3×1× ×1↓ ┃ × ┃1× ┃3┃ 
 ・━・━★ ・×☆ ★ ・ ★×・×・×・ 
   ×    1   1    ×1┃ × 
 ・━・×・ ・ ・━・ ・ ・×・×・━・ 
 ┃3┃1×    3   1  ×0×1× 
 ・ ・×・×・×・━・×・ ★━・×・×・ 
 ┃ ┃2×    3 2┃2  ┃ ×2┃ 
 ・ ・━・━★ ・━・ ・ ・ ・━・━・ 
───────────────────────
すると、★は5個であり、奇数個であり、もう1つ端点をでっちあげなければ 辻褄が合わない。

しかし、良く見ると、◎の点からの線の引き方は、矢印の様に2つ考えられる。

下向きに線を引けば、この領域に端点が1つ追加され、6点(偶数)になり、 条件を満たす。逆に、左に伸ばせば、端点の数は5点のままである。また、◎の 位置の伸ばし方以外では、領域内の端点の数は変化しない。


 ・ ・ ・ ・━・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 
      1 3┃1    ┃  1    
 ・ ・━・ ・━・×・×・━・ ・ ・ ・ 
   ┃ ×1  ×1× ┃3 0      
 ・━・×・×・×◎━・×・━・ ・ ・━・ 
 ┃3×1× ×1┃ ┃ × ┃1× ┃3┃ 
 ・━・━★ ・×★ ★ ・ ★×・×・×・ 
   ×    1   1    ×1┃ × 
 ・━・×・ ・ ・━・ ・ ・×・×・━・ 
 ┃3┃1×    3   1  ×0×1× 
 ・ ・×・×・×・━・×・ ★━・×・×・ 
 ┃ ┃2×    3 2┃2  ┃ ×2┃ 
 ・ ・━・━★ ・━・ ・ ・ ・━・━・ 
───────────────────────
◎からの線をどちらに引くかが決まれば、この領域内が一気に決定してしまう ことは説明を省く。


「領域の端点数」という表現をしたが、「領域に入ってくる線の数」という 見方もできる。頭の中では、どちらで考えても良いが、結局は同じことである。 入ってきた線は必ず出ていく訳で、これは、入ってきた線はどれか別の線に繋がって、 出ていくということである。したがって、領域に入ってくる線の総数は偶数に なる。


ここでの例では、偶然、端っこの場合になってしまったが、大きな問題の真ん中 ということも当然ある。そして、領域が大きくなると、いったい何個(何本)ある のか数えるのが大変になって、とってもパズルらしくなる。


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